题目内容
研究一下，是否存在一个三角形具有以下性质：
(1)
三边是连续的三个自然数；(2)
最大角是最小角的2倍．
答案：略
解析：
解析：
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设三角形三边长分别是  ，n， ，三个角分别是 ， ， ．由正弦定理，
所以，
由余弦定理，
即
化简，得
所以， n＝0，或n＝5．n＝0不合题意，舍去．n＝5．三角形的三边分别是4，5，6．可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍．另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数． (1)三边的长不可能是1，2，3．这是因为1＋2＝3，而三角形任何两边之和大于第三边． (2)如果三边分别是a＝2，b＝3，c＝4． 因为
在此三角形中， A是最小角，C是最大角，但是，
所以，
边长为 2，3，4的三角形不满足条件．(3)如果三边分别是a＝3，b＝4，c＝5，此三角形是直角三角形，最大角是90°，最小角不等于45°，此三角形不满足条件． (4)如果三边是a＝4，b＝5，c＝6．此时，
因为
 ， ，
所以，
所以，边长为 4，5，6的三角形满足条件．(5)当  ，三角形的三边是a＝n，b＝n＋1，c＝n＋2时，三角形的最小角是A，最大角是C．
cosA 随n的增大而减小，A随之增大，cosC随n的增大而增大，C随之变小．由于 时有C＝2A，所以， 时，不可能 ．
综上可知，只有边长分别为 4，5，6的三角形满足条件． |
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