Question

（2013•烟台一模）已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和S_n，且满足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，求i的值；
（2）设bn=

n

(2n+1)Sn

，是否存在一个最小的常数m使得b₁+b₂+…+b_n＜m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用方程组思想，确定等差数列{a_n}的通项，再利用1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，建立方程，即可求i的值；
（2）求得数列的通项，利用裂项法求和，即可求得m的值．

解答：解：（1）由题意，∵a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
∴（a₁+d）（a₁+3d）=65，a₁+a₁+4d=18．
∵d＞0，∴d=4，a₁=1
∴a_n=4n-3，
∵a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，
∴a₁a₂₁=ai2
∴1•81=（4i-3）²
∵1＜i＜21，∴i=3；
（2）由（1）可得Sn=n•1+

n(n-1)

2

•4=2n2-n
∴bn=

n

(2n+1)Sn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

=

1

2

-

1

2(2n+1)

＜

1

2

∵b₁+b₂+…+b_n＜m对于任意的正整数n均成立，
∴m=

1

2

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的求和，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．