Question

(温州十校模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证为定值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)设椭圆C的方程为，则由题意知b=1． ∴，即． ∴． ∴椭圆C的方程为．　　　　　　　　　　　　　(6分) (2)解法一：设点A、B、M的坐标分别为，，．易知F点的坐标为(2，0)． ∵，∴． ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　(9分) 将A点的坐标代入到椭圆方程中， 得． 去分母整理得．　　　　　　　　　　　　(12分) 同理，由可得． ∴，是方程的两个根， ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15分) 解法二：设点A、B、M的坐标分别为，，．又易知F点的坐标为(2，0)． 显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k(x－2)．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得．　　　　　　　　　　　　　　(9分) ∴．　　　　　　　　　　　　(12分) 又∵，将各点坐标代入得 ，， ∴．　　　　(15分)