Question

已知点M是离心率是

6

3

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，过点M作直线MA、MB交椭圆C于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂．
（I）若点A，B关于原点对称，求k₁•k₂的值；
（II）若点M的坐标为（0，1），且k₁+k₂=3，求证：直线AB过定点；并求直线AB的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而求得a和b的关系，代入椭圆方程，设出A，B，M的坐标，把A，M代入椭圆方程，两式想减正好求得直线MA，MB的斜率之积结果为-

1

3

（II）根据点M的坐标，可求得b，设出直线AB的方程，代入椭圆方程根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，根据判别式求得t的范围，由k₁+k₂=3，求得A点横坐标和纵坐标的关系，把A点坐标代入直线求得A点横坐标和纵坐标的关系，然后联立求得t关于k的表达式，代入直线方程，根据直线AB过定点，进而把t=

2k-3

3

.代入3k²+1＞t²中即可求得k的范围．

解答：解：（I）由e=

6

3

得，a²=3b²，椭圆方程为x²+3y²=3b²
设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），M（x₀，y₀）
由A，M是椭圆上的点得，x₁²+3y₁²=3b²①x₀²+3y₀²=3b²②
①-②得，k1k2=

y1-y0

x1-x0

•

-y1-y0

-x1-x0

=

y 2 1 - y 2 0

x 2 1 - x 2 0

=-

1

3

（定值）
（II）点M的坐标为（0，1），则b²=1，椭圆方程为x+3y²=3
显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程得，
（3k²+1）x²+6ktx+3（t²-1）=0
x1+x2=

-6kt

3k2+1

，x1•x2=

3(t2-1)

3k2+1

△=36k²t²-12（3k²+1）（t²-1）＞0，
化简得，3k²+1＞t²（*）
由k₁+k₂=3得，

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=3③，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t④，
由③，④得，（t-1）（x₁+x₂）+（2k-3）x₁x₂=0，
化简得，(t-1)(t-

2k-3

3

)=0t=1（舍）或t=

2k-3

3

，
则直线AB的方程为y=kx+

2k+3

3

=k(x+

2

3

)-1
∴直线AB过定点(-

2

3

，-1)
将t=

2k-3

3

代入(*)式得，k＞0或k＜-

12

23

．
∴直线AB的斜率k的取值范围为(-∞，-

12

23

)∪（0，3）∪（3，+∞）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．