Question

已知椭圆的中心在原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；
（Ⅱ）若F′为焦点F关于直线y=

3

2

的对称点，动点M满足

|MF|

|MF′|

=e，问是否存在一个定点M，使M到点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆长半轴长及半焦距，根据已知可求得a，进而利用椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6．求得c，则b可求，进而可求得椭圆的方程和离心率．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中椭圆的方程可求得焦点的坐标，设出M的坐标根据题意利用两点间的距离公式求得x和y的关系式，进而判断出存在一个定点A（0，

7

3

），使M到A点的距离为定值，其定值为

2

3

．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得

a=4 a+c=6

，
解得a=4，c=2．
所以椭圆的标准方程为

x2

12

+

y2

16

=1．
离心率e=

2

4

=

1

2

（Ⅱ）F（0，2），F′（0，1），设M（x，y）由

|MF|

|MF′|

=e得

x2+(y-2)2

x2+(y-1)2

=

1

2

化简得3x²+3y²-14y+15=0，即x²+（y-

7

3

）²=（

2

3

）²
故存在一个定点M（0，

7

3

），
使M到A点的距离为定值，其定值为

2

3

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查学生对椭圆基础知识的综合理解．