Question

已知：关于x的方程2x²-（+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：
（1）+的值；
（2）m的值；
（3）方程的两根及此时θ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得 ，再根据三角函数的恒等变换化简+ 为 sinθ+cosθ，从而求得结果．
（2）由sinθ+cosθ=、sinθcosθ= 以及同角三角函数的基本关系可得 1+m=，由此解得 m的值．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，解得 sinθ 和cosθ 的值，从而求得故此时方程的两个根及θ的值．
解答：解：（1）由于关于x的方程2x²-（+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，故有 ，
∴+=+==sinθ+cosθ=．

（2）由sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，∴sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=，即 1+m=，解得 m=．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，解得 sinθ=，cosθ=； 或者 sinθ=，cosθ=．
故此时方程的两个根分别为 、，对应θ的值为 或．
点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，同角三角函数的基本关系的应用，三角函数的恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．