Question

【题目】椭圆（）的左、右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，若，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点关于轴的对称点在抛物线上，是否存在直线与椭圆交于，使得的中点落在直线上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出的方程，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】试题分析：（1）根据题意得到进而求得椭圆方程；（2）设直线与椭圆的交点坐标为满足椭圆方程两式作差可得，中点落在直线上得，再联立直线l和抛物线，得到二次方程，在判断判别式的正负即可.

解析：

（Ⅰ）解：由题意可知解得椭圆方程是.

(Ⅱ)由（Ⅰ）可知则有代入可得抛物线方程是

若直线斜率存在，设直线与椭圆的交点坐标为满足椭圆方程两式作差可得，的中点落在直线上则有

代入可得，

直线方程可以设为与抛物线方程联立消元可得方程，

直线与抛物线相切则有，则直线的方程为，与椭圆方程联立：消元可得方程，

，所以直线满足题意.

若直线斜率不存在时，直线满足题意.

所以，综上这样的直线存在，方程是或.