Question

【题目】已知函数

（1）当时，求的极值；

（2）若有两个不同的极值点 ，求的取值范围;

Answer 1

【答案】（1）极小值（2）

【解析】试题分析：(1)当时，代入求导得出结果(2)对求导，设，在对求导，讨论、时的单调性，确定取得极限时的值，然后求，即可算出结果

解析：（1）当时，，，令，可得，故上单调递增，同理可得在上单调递减，

故在处有极小值；

（2）依题意可得，有两个不同的实根.

设，则有两个不同的实根,，

若，则，此时为增函数，故至多有1个实根，不符合要求；

若，则当时，，当时，，

故此时在上单调递增，在上单调递减，的最大值为

,

又当时，，当时，，故要使有两个实根，则，得. （或作图象知要使有两个实根，则）

设的两根为 ，当时，，此时；

当时，，此时；当时，，此时.

故为的极小值点，为的极大值点, 符合要求.

综上所述：的取值范围为.（分离变量的方法也可以）