Question

3．已知函数y=f（x）的值域为[$\frac{1}{4}$，3]，y=f²（x）-f（x）+1的值域为[$\frac{3}{4}$，7]；F（x）=4f（x）+$\frac{1}{f（x）}$的值域为[4，$\frac{37}{3}$]．

Answer 1

分析 设f（x）=t，利用换元法得出关于t的函数，再利用二次函数的性质和函数单调性得出两函数的值域．

解答 解：设f（x）=t，则t∈[$\frac{1}{4}$，3]，
∴y=f²（x）-f（x）+1=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，y取得最小值$\frac{3}{4}$，当t=3时，y取得最大值7，
∴y=f²（x）-f（x）+1的值域为[$\frac{3}{4}$，7]．
F（x）=4f（x）+$\frac{1}{f（x）}$=4t+$\frac{1}{t}$，
令g（t）=4t+$\frac{1}{t}$，则g′（t）=4-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
∴g（t）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，3]上单调递增，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，g（t）取得最小值g（$\frac{1}{2}$）=4，
又g（$\frac{1}{4}$）=5，g（3）=$\frac{37}{3}$．
∴g（t）的值域为[4，$\frac{37}{3}$]．
故答案为：[$\frac{3}{4}$，7]，[4，$\frac{37}{3}$]．

点评 本题考查了换元法，函数值域的计算，属于中档题．