Question

出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，已知g（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当1＜x＜e²时，恒有成立；
（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h₁（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h₁（x）的零点个数，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设，g（x）=x²-alnx，
则．（1分）
由已知，g'（1）=0，
即2-a=0?a=2．（2分）
于是，
则．（3分）
由，
所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．（4分）
证明：（Ⅱ）当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，
即0＜f（x）＜2．（5分）
欲证，
只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），
即证．（6分）
设，
则．
当1＜x＜e²时，φ'（x）＞0，
所以φ（x）在区间（1，e²）上为增函数．（7分）
从而当1＜x＜e²时，φ（x）＞φ（1）=0，
即，
故．（8分）
解：（Ⅲ）由题设，．
令g（x）-h₁（x）=0，
则，
即．（9分）
设，
h₃（x）=-x²+x+6（x＞0），
则，
由，得x＞4．
所以h₂（x）在（4，+∞）上是增函数，
在（0，4）上是减函数．（10分）
又h₃（x）在（0，）上是增函数，
在（，+∞）上是减函数．
因为当x→0时，h₂（x）→+∞，h₃（x）→6．
又h₂（1）=2，h₃（1）=6，h₂（4）=4-2ln4＞0，h₃（4）=-6，
则函数h₂（x）与h₃（x）的大致图象如下：（12分）

由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，
故函数y=g（x）-h₁（x）有2个零点．（13分）
分析：（Ⅰ）由题设，g（x）=x²-alnx，则．由已知，g'（1）=0，a=2．于是，则．由此能确定确定函数h（x）的单调性．
（Ⅱ）当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2．欲证，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），即证．由此能够证明当1＜x＜e²时，恒有成立．
（Ⅲ）由题设，．令g（x）-h₁（x）=0，则．设，h₃（x）=-x²+x+6（x＞0），则，由，得x＞4．
所以h₂（x）在（4，+∞）上是增函数，在（0，4）上是减函数．由此入手能够确定函数y=g（x）-h₁（x）的零点个数．
点评：本题考函数的恒成立的应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意导数的合理运用．