Question

下列函数中，最小值为4的有（　　）个．
①y=

x2

x-1

（x＞1）
②y=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

③y=4^x-2^x+1+5（x＞0）
④f（x，y）=x²+y²-2x+4y+9
⑤f（x，y）=

(x+y)2

xy

．

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式的性质即可判断出，注意“一正二定三相等”的使用法则．

解答： 解：①∵x＞1，∴y=

x2

x-1

=

x2-1+1

x-1

=x-1+

1

x-1

+2≥2

(x-1)• 1 x-1

+2=4，当且仅当x=2时取等号．其最小值为4．
②y=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

≥2

sin2x+2 × 4 sin2x+2

=4，当且仅当sin²x=2时取等号，满足此等式的x不存在，因此等号不成立，其最小值不是4．
③∵x＞0，∴2^x＞1，∴y=4^x-2^x+1+5=（2^x）²-2•2^x+5=（2^x-1）²+4＞4，其最小值不是4．
④f（x，y）=x²+y²-2x+4y+9=（x-1）²+（y+2）²+4≥4，当且仅当x=1，y=-2时取等号，其最小值为4．
⑤当xy＜0时，f（x，y）=

(x+y)2

xy

≤0．其最小值不是4．
综上可得：只有①④正确．
故选：A．

点评：本题考查了基本不等式的性质，注意“一正二定三相等”的使用法则，考查了推理能力，使用基础题．