Question

某市电力部门在抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距

3

 km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上），测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A、B距离的

4

3

倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？

Answer 1

分析：利用△ACD的边角关系得出AC，在△BCD中，由正弦定理即可得出BC，在△ACB中利用余弦定理即可得出AB．即可得到准备的电线长度．

解答：（本小题满分13分）
解：在△ACD中，由已知可得，∠CAD=30°，
所以，AC=

3

 km，…．（2分）
在△BCD中，由已知可得，∠CBD=60°，
sin75°=sin（45°+30°）=

6 + 2

4

，…．（4分）
由正弦定理，BC=

3 sin75°

sin60°

=

6 + 2

2

，…（6分）
cos75°=cos（45°+30°）=

6 - 2

4

，…..（8分）
在△ABC中，由余弦定理AB²=AC²+BC²-2ACBC•cos∠BCA
=（

3

）²+(

6 + 2

2

)2-2

3

•

6 + 2

2

•cos75°=5，…．（11分）
所以，AB=

5

，施工单位应该准备电线长

4

3

5

．
即施工单位应该准备电线长

4

3

5

 km．…．（13分）

点评：本题给出实际问题，求河对岸两点A、B间的距离，着重考查了利用正余弦定理解三角形及其实际应用等知识，属于中档题．