Question

如图，直四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD的高为3，底面是边长为4，且∠DAB=60°的菱形，O是AC与BD的交点，O₁是A₁C₁与B₁D₁的交点．
（I） 求二面角O₁-BC-D的大小；
（II） 求点A到平面O₁BC的距离．

Answer 1

【答案】分析：本题一个求二面角与点到面距离的题，
（I）求二面角的方法有二，一是用立体几何法，作出它的平面角，求之，二是利用向量求二面角，需要建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用数量积公式求出二面角的余弦，再求角．
（II）求点到面的距离也有二种方法，一种是几何法，作出点到面的垂线段，用解三角形的方法求之．
二是用向量法，找出平面上一点与此点相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离．
解答：（本小题满分12分）
解：方法一：（I）过点O作OF⊥BC交BC于F，连接O₁F．
∵OO₁⊥平面ABCD，
∴BC⊥O₁F．
∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角…（3分）
由已知得：OB=2，∠OBF=60°．
∴．
在Rt△O₁OF中，，
∴∠O₁FO=60°．
即二面角O₁-BC-D的大小等于60°．…（6分）
（II）设点A到平面O₁BC的距离等于h，
∵，
∴．
又∵，
且…（10分）∴h=OO₁=3
即点A到平面O₁BC的距离等于3．…（12分）
方法二：（I）由题意建立如图所示的空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴．
则
…（2分）∴，．
设平面O₁BC的法向量为
令z=2，则．∴．
又平面ABCD的一个法向量为，…（4分）
∴．
由已知得二面角O₁-BC-D是锐角，故二面角O₁-BC-D的大小等于60°．…（6分）
（II）设点A到平面O₁BC的距离等于d，
由（I）知平面O₁BC的一个法向量为．
又∵，则．
∴点A到平面O₁BC的距离等于3．…（12分）
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，点到平面的距离，其中建立空间坐标系，然后将空间直线与平面、平面与平面位置关系转化为向量之间的关系，是解答本题的关键．本题运算量较大，解题时要严谨，用向量解决立体几何问题是近几年高考的热点，本题中的类型近几年出现的频率较高