Question

(本小题满分12分)

如图，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为a的   

菱形，且，侧棱AA₁长等于3a，O为底面ABCD对

角线的交点.

（1）求证：OA₁∥平面B₁CD₁；

（2）求异面直线AC与A₁B所成的角；

（3）在棱上取一点F，问AF为何值时，C₁F⊥平面BDF？

Answer 1

（2）

解析:

（方法一）(1) 连A₁C₁，设其与B₁D_­1交于点O₁. ∵A₁O₁OC,  ∴四边形A₁O₁OC为平行四边形，    ∴OA₁//O₁C, 平面B₁CD₁, 平面B₁CD₁，  ∴OA₁∥平面B₁CD₁.

    (2) ∵A₁C₁//AC，∴就是异面直线AC与A₁B所成的角或其补角.

       由题意得 

根据余弦定理得     

故异面直线AC与A₁B所成的角为 

(3) ∵ABCD是菱形，∴ 又  ∴平面.

∵平面，∴ 

故C₁F⊥平面BOF   ∴.

设，则 ∴ 即

解得故当AF时，C₁F⊥平面BOF.

（方法二） 以O为原点，OC、OD所在直线分别为

x轴、y轴，则O(0, 0, 0), ，，

，，

.

    (1)

   

    ∴ 平面，平面，

    ∴OA₁∥平面B₁CD₁.

（2），，

于是

故异面直线AC与A₁B所成的角为 

(3) 设为上任意一点，则.

∵，于是C₁F⊥平面BOF

解得. 即时，C₁F⊥平面BOF.