Question

已知f（x）=

1

2

(x+

1

x

)+a，g（x）=x-1-lnx，若存在α，β∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（α）-g（β）|≤3，则a的取值范围是

（1，e]

．

Answer 1

分析：定义在[

1

a

，a]上的函数f（x）和g（x）的值域，得到：f（x）的最小值为1+a，g（x）的最大值为：a-1-lna，结合条件：存在α，β∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（α）-g（β）|≤3，得到f（x）的最小值与g（x）的最大值差的绝对值小于等于3，得出一个关于a的不等关系，解之即得a的取值范围．

解答：解：∵定义在[

1

a

，a]上的函数f（x）和g（x）的值域依次是[1+a，

1

2

(a+

1

a

)+a]和[0，a-1-lna]，
∴f（x）的最小值为1+a，g（x）的最大值为：a-1-lna，
∵若存在α，β∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（α）-g（β）|≤3，则
∴1+a-（-1-lna）≤3，又a＞1
解之得：1＜a≤e，
故答案为：（1，e]．

点评：本小题主要考查函数的值域、函数的最值的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．