Question

若实数x，y，z满足x+2y+3z=a（a为常数），则x²+y²+z²的最小值为

 

．

Answer 1

分析：利用题中条件：“x+2y+3z=a”构造柯西不等式：（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²=a²这个条件进行计算即可．

解答：解：∵（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²=a²，…（5分）
∴（x²+y²+z²）≥

a2

14

，当且仅当 x=

y

2

=

z

3

时取等号，…（8分）
则x²+y²+z²的最小值为

a2

14

．…（10分）
故答案为：

a2

14

．

点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²