Question

（本小题满分12分）
如图所示，在直棱柱中，，，的中点.

（1）求证：∥；
（2）求证：；
（3）在上是否存在一点，使得，若存在，试确定的位置，并判断与平面是否垂直？若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）证明：如图，连结，与交于，则为的中点，连结，又为的中点，∥，又平面平面，∥平面.
（2）证明：由平行四边形为菱形，得.又由线面垂直得出.在直三棱柱中，.
（3）分别为的中点，∥..
，.

试题分析：（1）证明：如图，连结，与交于，则为的中点，连结，又为的中点，∥，又平面平面，∥平面.
（2）证明：平行四边形为菱形，.又.又在直三棱柱中，.
（3）设，由于，在中，有
.
在中，由余弦定理得，
即，
，即分别为的中点，∥..
，.
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题（3），利用代数方法，达到证明目的。