Question

若曲线f（x）=x²（x＞0）在点（a，f（a））处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为54，则a=（　　）

• A、3
• B、6
• C、9
• D、18

Answer 1

分析：求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程，然后求切线与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式求a即可．

解答：解：∵f（x）=x²（x＞0），
∴f'（x）=2x，
∴在点（a，f（a））处的切线斜率k=f'（a）=2a，（a＞0）．
且f（a）=a²，
∴切线方程为y-a²=2a（x-a），即y=2ax-a²，
令x=0，则y=-a²，
令y=0，则x=

a

2

，即切线与坐标轴的交点坐标为（0，-a²），（

a

2

，0），
∴三角形的面积为

1

2

×

a

2

×a2=

a3

4

=54，
即a³=4×54=216=6³，
∴a=6．
故选：B．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及导数的基本运算，要求熟练掌握导数的基本运算．