题目内容
若曲线f（x）=
x3+x2+mx的所有切线中，只有一条与直线x+y-3=0垂直，则实数m的值等于（ ）
| 1 | 3 |
分析：设切点的横坐标为a，利用导数的几何意义，求得切线的斜率k，根据题意可知k•（-1）=-1只有唯一的根，即转化为研究二次函数只有一根的问题，利用△=0，即可求得实数m的值．
解答：解：∵f（x）=
x3+x2+mx，
∴f′（x）=x2+2x+m，
设切点的横坐标为a，
根据导数的几何意义，
∴切线的斜率k=f′（a）=a2+2a+m，
∵曲线f（x）=
x3+x2+mx的所有切线中，只有一条与直线x+y-3=0垂直，
∴（a2+2a+m）×（-1）=-1只有唯一的根，
即a2+2a+m-1=0只有唯一的根，
∴△=4-4（m-1）=0解得m=2．
故选B．
| 1 |
| 3 |
∴f′（x）=x2+2x+m，
设切点的横坐标为a，
根据导数的几何意义，
∴切线的斜率k=f′（a）=a2+2a+m，
∵曲线f（x）=
| 1 |
| 3 |
∴（a2+2a+m）×（-1）=-1只有唯一的根，
即a2+2a+m-1=0只有唯一的根，
∴△=4-4（m-1）=0解得m=2．
故选B．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线与直线的位置关系．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．直线与直线的位置关系主要有相交、平行，本题考查了相交中的特殊情况-垂直，两条直线垂直，可以运用斜率的乘积等于-1进行求解．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目