Question

已知实数x，y满足不等式组

y≤x  x+2y≤4  y≥ 1 2 x+m

且z=x²+y²+2x-2y+2的最小值为2．则实数m的取值范围为（　　）

• A．（-∞，0）
• B．（-∞，0]
• C．（-∞，

  4

  3

  ]
• D．（0，

  4

  3

  ]

Answer 1

分析：先根据z=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²，利用几何意义：点P（x，y）到点（-1，1）距离的平方来求最值，只需求出可行域内满足最小值时，可行域的范围，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：先根据约束条件画出可行域，
其中目标函数：z=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²，
表示可行域内点P（x，y）到（-1，1）距离的平方，如图，
因点P到直线y=x的距离即为

2

，即z=x²+y²+2x-2y+2的取值为2，
观察图形可知，当直线y=

1

2

x+m在y轴上的截距小于等于0时，此时z=x²+y²+2x-2y+2的最小值为2．即m≤0．
故选B．

点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．