Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）P（

5π

12

，3），Q（

11π

12

，-3）分别是f（x）图象上相邻的最高点和最低点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用“五点法”作出f（x）在一个周期内的图象；
（3）若θ∈（0，π），且f（θ）＞

3

2

，求θ的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接根据三角函数图象过点P、Q求解即可；
（2）利用五点法画出图象即可；
（3）首先，求解三角不等式，然后，结合给定的范围求解即可．

解答： 解：（1）∵函数过点P（

5π

12

，3），Q（

11π

12

，-3），
∴A=3，
由题意，得

1

2

T=

π

2

，∴T=π，
∴

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），
将点P（

5π

12

，3）代人，得
3sin（

5π

6

+φ）=3，|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

3

，
∴f（x）=3sin（2x-

π

3

），
（2）根据五点法画图，得
当2x-

π

3

=0，即x=

π

6

时，y=0；
当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

时，y=3；
当2x-

π

3

=π，即x=

2π

3

时，y=0；
当2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

时，y=-3；
当2x-

π

3

=2π，即x=

7π

6

时，y=0，
如下表所示：

2x- π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	7π 6
y=3sin（2x- π 3 ）	0	3	0	-3	0

对应的图象如下图所示：

（3）∵f（θ）=3sin（2θ-

π

3

）＞

3

2

，
∴sin（2θ-

π

3

）＞

1

2

，
∴

π

4

+kπ≤x≤

7π

12

+2kπ，k∈Z，
∵θ∈（0，π），
∴所求θ的取值范围（

π

4

，

7π

12

），

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数的五点法作图、三角不等式等知识，属于中档题．