Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的零点的个数；

（2）当函数有两个零点时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）分别讨论,,时的单调性,进而判断零点个数；

（2）由（1）可知时有两个零点, ,设,由,可得存在,则在上是减函数,在上是增函数,即为最小值,故证明即可.

（1）由题,

当时,在上是增函数

又时,

∴有一个零点

当时,∴无零点

当时在上是增函数

又时,时,

∴在上存在唯一零点

∴在上是减函数,在上是增函数

又时,时,

当时,

∴有两个零点

当时,,∴

∴

∴有一个零点

当时,

当时,在上无零点

当时

∴

∴在上也无零点

∴在上无零点

综上：时有两个零点

或时有一个零点

时无零点

（2）证明：由（1）知,

令,在上是增函数

又,

∴存在,使

∴在上是减函数,在上是增函数

∴

∵

∴

∴

∵

∴

又

∴

∴