Question

已知：等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比都是d，（d≠1）且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀；
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n和为T_n，求T_n；
（3）b₁₆是否为数列{a_n}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别利用等差及等比数列的通项公式表示出a₄及b₄，根据a₄=b₄列出等式，用d表示出a₁，同理分别利用等差及等比数列的通项公式表示出a₁₀及b₁₀，根据a₁₀=b₁₀列出等式，用d表示出a₁，两者相等列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，可求出a₁的值，即可确定出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）由第一问求出等比数列{b_n}的首项与公比，利用等比数列的前n项和公式即可表示出数列{b_n}的前n和为T_n；
（3）b₁₆是{a_n}中的项，为第34项，理由为：先利用{b_n}的通项公式表示出b₁₆，令{a_n}的通项公式等于表示出的b₁₆，可得出n的值，进而得到b₁₆为数列{a_n}中的项，由n的值可得出是第几项．
解答：解：（1）a₄=a₁+3d，b₄=b₁•d³，∴a₁+3d=a₁d³，∴a₁=，
∵a₁₀=a₁+9d，b₁₀=a₁•d⁹，∴a₁+9d=a₁•d⁹，a₁=，
∴=，∴d⁹-1=3d³-3，
∴（d³-1）（d⁶+d³+1）-3（d³-1）=0，
∵d≠1，∴d⁶+d³-2=0，∴d³=-2．
∴d=-，a₁==，
a_n=a₁+（n-1）d=（2-n），b_n=•（-）^n-1；
（2）∵b₁=a₁=，d=-，
则数列{b_n}的前n和为T_n==（1-）=-；
（3）b₁₆是{a_n}中的项，为第34项，理由为：
假设b₁₆是{a_n}中的项，
∵b₁₆=a₁d¹⁵=•（-）¹⁵=-32，a_n=（2-n），
∴（2-n）=-32，解得：n=34，
∴b₁₆是{a_n}中的项，为第34项．
点评：此题考查了等差数列的性质，等差、等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．