题目内容

过抛物线y2=2px的顶点作两个互相垂直的弦OA，OB，则△OAB面积的最小值为
 
．
分析：如图所示，设A(
y
2
1
2p
，y1)，B(
y
2
2
2p
，y2)，y1y2≠0．由于
OA
⊥
OB
，利用数量积可得
OA
•
OB
=
y
2
1
y
2
2
4p2
+y1y2=0，化为y1y2=-4p2．利用三角形的面积S△OAB=
1
2
|OA| |OB|=
1
2
y
4
1
4p2
+
y
2
1
y
2
2
4p2
+
y
2
2
及其基本不等式即可得出．
解答：解：设A(
y
2
1
2p
，y1)，B(
y
2
2
2p
，y2)，y1y2≠0．
∵
OA
⊥
OB
，
∴
OA
•
OB
=
y
2
1
y
2
2
4p2
+y1y2=0，
化为y1y2=-4p2．
∴S△OAB=
1
2
|OA| |OB|=
1
2
y
4
1
4p2
+
y
2
1
y
2
2
4p2
+
y
2
2

=
1
2
•
|y1y2|
4p2
(
y
2
1
+4p2)(
y
2
2
+4p2)

=
1
2
(y1y2)2+4p2(
y
2
1
+
y
2
2
)+16p4
≥
1
2
32p4+4p2•2|y1y2|
=4p2．
当且仅当|y1|=|y2|=2p时取等号．
故答案为4p2．
点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、数量积运算与向量垂直的关系、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若
AF
=
FB
，
BA
•
BC
=48，则抛物线的方程为（　　）
A、y2=4x
B、y2=8x
C、y2=16x
D、y2=4
2
x
过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0）作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，则
y1+y2y0
=
 
．
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为抛物线的顶点．则△ABO是一个（　　）
A、等边三角形B、直角三角形C、不等边锐角三角形D、钝角三角形
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，过M作AB的垂直平分线交x轴于N．
（1）求证：FN=
12
AB；
（2）过A，B的抛物线的切线相交于P，求P的轨迹方程．
（2010•武汉模拟）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线l：x=-
p
2
相交于P、Q两点，则∠PFQ=（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网