Question

13．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1的两个焦点为F₁、F₂
（1）若点P在椭圆上，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面积；
（2）若AB是经过椭圆中心的一条弦，求△F₁AB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面积公式求解；
（2）运用△F₁AB面积为${S}_{△AO{F}_{1}}$+${S}_{△BO{F}_{1}}$=4m，由椭圆的范围可得m的最大值为3，即可得到所求．

解答 解：（1）∵a=5，b=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=4．
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则由椭圆的定义可得：t₁+t₂=10①
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，
∴t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos$\frac{π}{3}$=64②，
由①²-②得t₁t₂=12，
∴S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
（2）设A（m，n），B（-m，-n），（m＞0），
则△F₁AB面积为${S}_{△AO{F}_{1}}$+${S}_{△BO{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•|OF₁|•（m+m）=cm=4m，
由椭圆的范围可得，m最大为3，
即有△F₁AB面积的最大值为12．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的定义和范围，熟练利用解三角形的一个知识求解问题．