Question

（理）函数f(x)=

m-2sinx

cosx

在区间(0，

π

2

)上单调递减，则实数m的取值范围为

（-∞，2]

．

Answer 1

分析：函数f(x)=

m-2sinx

cosx

在区间(0，

π

2

)上单调递减，利用单调减函数的定义，可以转化为在区间(0，

π

2

)上不等式的恒成立问题，进而转化为：m＜(

2sin(x1-x2)

cosx2-cosx1

)在区间(0，

π

2

)上的最小值．结合区间(0，

π

2

)可求实数m的取值范围．

解答：解：已知条件实际上给出了一个在区间(0，

π

2

)上恒成立的不等式．
任取x₁，x₂∈(0，

π

2

)，且x₁＜x₂，则不等式f（x₁）＞f（x₂）恒成立，即

m-2sinx1

cosx1

＞

m-2sinx2

cosx2

恒成立．化简得m（cosx₂-cosx₁）＞2sin（x₁-x₂）
由0＜x1＜x2＜

π

2

可知：cosx₂-cosx₁＜0，所以m＜

2sin(x1-x2)

cosx2-cosx1

上式恒成立的条件为：m＜(

2sin(x1-x2)

cosx2-cosx1

)在区间(0，

π

2

)上的最小值．
由于

2sin(x1-x2)

cosx2-cosx1

=

4sin x1-x2 2 cos x1-x2 2

2sin x1+x2 2 sin x1-x2 2

=

2cos x1-x2 2

sin x1+x2 2

=

2(cos x1 2 cos x2 2 +sin x1 2 sin x2 2 )

sin x1 2 cos x2 2 +cos x1 2 sin x2 2

=

2(1+tan x1 2 tan x2 2 )

tan x1 2 +tan x2 2

且当0＜x1＜x2＜

π

2

时，0＜

x1

2

，

x2

2

＜

π

4

，所以 0＜tan

x1

2

，tan

x2

2

＜1，
从而  (1+tan

x1

2

tan

x2

2

)-(tan

x1

2

+tan

x2

2

)=(1-tan

x1

2

)(1-tan

x2

2

)＞0，
有   

2(1+tan x1 2 tan x2 2 )

tan x1 2 +tan x2 2

＞2，
即m的取值范围为（-∞，2]．
故答案为（-∞，2]．

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查利用函数的单调性解决恒成立问题，关键是分离参数，利用函数的最值（或范围），有较强的技巧．