Question

14．在△ABC，若（c+a）（c-a）=a²+b²，则角A的最大值为30°．

Answer 1

分析 由已知可得a²=$\frac{1}{2}$（c²-b²），利用余弦定理以及基本不等式求出A的余弦函数的范围，然后即可求解A的最大值．

解答 解：∵（c+a）（c-a）=a²+b²，可得：c²-a²=a²+b²，即：a²=$\frac{1}{2}$（c²-b²），
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-\frac{{c}^{2}-{b}^{2}}{2}}{2bc}$=$\frac{c}{4b}$+$\frac{3b}{4c}$≥2$\sqrt{\frac{c}{4b}×\frac{3b}{4c}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为三角形的内角，余弦函数的值越小则角度越大，
∵cosA≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A≤30°，
即∠A最大值为30°．
故答案为：30°．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用，余弦函数的图象和性质，基本不等式求解最值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．