Question

（本题满分14分）

已知函数,,和直线： .

又. 

(1)求的值；

(2)是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.

(3)如果对于所有的,都有成立，求k的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）=－2.

（2）

(3)

【解析】解：（1）,因为所以=－2.   …………2分

  (2)因为直线恒过点（0，9）.先求直线是 的切线.

设切点为, …………3分

∵.∴切线方程为,

将点（0，9）代入得.

当时，切线方程为=9, 当时，切线方程为=.

由得，即有

当时，的切线，

当时， 的切线方程为…………6分

 是公切线，又由得或，

当时的切线为，当时的切线为，

，不是公切线， 综上所述 时是两曲线的公切线  ……7分

 (3).（1）得，当，不等式恒成立，.

当时，不等式为，……8分

 

而

当时，不等式为， 

当时,恒成立，则          …………10分

（2）由得

当时，恒成立，，当时有 

设=，

当时为增函数，也为增函数

要使在上恒成立，则         …………12分

由上述过程只要考虑，则当时=

在时，在时

在时有极大值即在上的最大值，…………13分

又，即而当,时，

一定成立，综上所述.    …………14分