Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，.

（1）求证：；

（2）若，分别为，的中点，平面，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

试题本题主要考查线面垂直的判定与性质、锥体的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定定理，先证出平面，利用线面垂直的性质定理得，在中再证明；第二问， 用体积转化法，将转化为，证明出是锥体的高，再利用锥体的个数求解.

试题解析：（Ⅰ）连接交于点，

因为底面是正方形，

所以且为的中点.

又

所以平面，

由于平面,故.

又,故.

（Ⅱ）设的中点为,连接,∥=,

所以为平行四边形，∥，

因为平面，

所以平面，所以,的中点为,

所以.

由平面，又可得，

又，又

所以平面

所以,又,

所以平面

（注意：没有证明出平面，直接运用这一结论的，后续过程不给分）

故三棱锥D-ACE的体积为.