Question

【题目】在平行四边形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点，.连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2.

（1）证明：平面平面；

（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）先求得，，可得，结合，可得，，，可证明平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）由面面垂直的性质可得平面，取的中点为，连结，则，可证明平面，由此利用棱锥的体积公式可得三棱锥的体积.

（1）如题图1，在中，，，所以.

在中，，所以.

所以.

如题图2，，.又因为，所以，，，

所以平面，又因为平面，所以平面平面.

（2）解法一：因为平面平面，

平面平面，平面，，所以平面.

取的中点为，连结，则，所以平面.

即为三棱锥的高.

且.

因为，三棱锥的体积为.

解法二：因为平面平面，平面平面，平面，

，所以平面.

因为为的中点.

所以三棱锥的高等于.

因为为的中点，所以的面积是四边形的面积的，

从而三棱锥的体积是四棱锥的体积的.

面，

所以三棱锥的体积为.