Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为等边三角形，平面平面，是的中点．

（1）证明：；

（2）求四面体的体积．

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）取的中点，连接，设，由已知可得，再由面面垂直的性质得平面，则．然后求解三角形证明，再由线面垂直的判定可得平面，从而得到；（2）设到平面的距离为，由（1）知，平面，且，再由是的中点，得点到平面的距离．然后利用等积法求四面体的体积．

（1）证明：取的中点，连接，设，

∵，∴，

又平面平面，且平面平面，平面，

∴平面，

又∵平面，∴．

在与中，由，

得，∴．

∴．

∴，故．

又，∴平面．

而平面，∴；

（2）解：设到平面的距离为，

由（1）知，平面，且，

∵是的中点，∴点到平面的距离．

∴．