Question

（本小题满分12分）
已知函数在处取得极值为2，设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。
（1）求k的取值范围；
（2）若对于任意，存在k，使得，求证：

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）成立 。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）中，函数在处取得极值为2那么可知道a,b的值，求解得到解析式。然后分析范围
（2）根据由于，故只需要证明时结论成立
由，得，构造函数的思想，利用导数来得到证明。
解：（Ⅰ）
由及得，                         （2分）

设，得                         （4分）
（Ⅱ），令
的增区间为，故当时，.
即，故                                       （6分）
(法一)由于，故只需要证明时结论成立
由，得，
记，则
，则，
设，，
为减函数，故 为减函数
故当时有，此时，为减函数
当时，为增函数
所以为的唯一的极大值，因此要使，必有
综上，有成立                                     （12分）
（法二） 由已知：        ①
下面以反证法证明结论：
假设，则，
因为，，所以，
又，故
与①式矛盾
假设，同理可得
与①式矛盾
综上，有成立                                  （12分）