Question

12．在△ABC中，三角A，B，C满足关系式：sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB，G是△ABC垂心，且满足$\overrightarrow{CG}$•$\overrightarrow{CA}$=6，则△ABC的面积S_△ABC=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通过正弦定理与余弦定理求出C的余弦函数值，结合向量的数量积，即可求解三角形的面积．

解答 解：由正弦定理化简sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB，得：a²+b²=c²+ab，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵B为三角形内角，∴C=$\frac{π}{3}$，
G是△ABC垂心，且满足$\overrightarrow{CG}$•$\overrightarrow{CA}$=$\left|\overrightarrow{CG}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|$cos∠ACG=6，
∵$\left|\overrightarrow{CG}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|$×cos∠ACG=$\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|cosC$=6，
∴$\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|=12$，
则△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|sinC=\frac{1}{2}×12×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 此题考查了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．