Question

2．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae^nt．假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有$\frac{a}{4}$L，则m的值为（　　）

• A． 5
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 由题意，函数y=f（t）=ae^nt满足f（5）=$\frac{1}{2}$a，解出n=$\frac{1}{5}$ln$\frac{1}{2}$．再根据f（k）=$\frac{1}{4}$a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k-5即可得到．

解答 解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y=f（t）=ae^nt，满足f（5）=ae⁵ⁿ=$\frac{1}{2}$a
可得n=$\frac{1}{5}$ln$\frac{1}{2}$，
因此，当kmin后甲桶中的水只有$\frac{a}{4}$升，
即f（k）=$\frac{1}{4}$a，
即$\frac{1}{5}$ln$\frac{1}{2}$•k=ln$\frac{1}{4}$，
即为$\frac{1}{5}$ln$\frac{1}{2}$•k=2ln$\frac{1}{2}$，
解之得k=10，
经过了k-5=5分钟，即m=5．
故选A．

点评 本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．