Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有三个零点，证明：当时，．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论得到的单调性.(2)先转化函数有三个零点得到，再利用分析法和导数证明.

详解：(1)

令,则或,

当时,,在上是增函数；

当时,令,得,,

所以在,上是增函数；

令,得,

所以在上是减函数

当时,令,得,,

所以在,上是增函数；

令,得,所以在上是减函数

综上所述：

当时,在上是增函数；

当时,在,上是增函数,在上是减函数.

当时,在,上是增函数,在上是减函数.

（2）由(1)可知：当时,在上是增函数，函数不可能有三个零点；

当时,在,上是增函数,在上是减函数.

的极小值为，函数不可能有三个零点

当时,,

要满足有三个零点,则需,即

当时,要证明：等价于要证明

即要证：

由于,故等价于证明：,证明如下：

构造函数

令

,函数在单调递增

,函数在单调递增

,

∴．