题目内容

已知定义在（1，+∞）上的函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ） 当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程．
（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（1，+∞），
f'（x）=x2-ax=x（x-a），
当a≤1时，在（1，+∞）上f'（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）单调递增；
当a＞1时，在（1，a）上f'（x）＜0，在[a，+∞）上f'（x）＞0，
所以f（x）在（1，a）单调递减，在[a，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）当a=2时，f(x)=
1
3
x3-x2+1，f'（x）=x2-2x，
∴f'（3）=32-2×3=3，f(3)=
1
3
×33-32+1=1，
所求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y-1=3（x-3）即3x-y-8=0．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在（-1，1）上的函数f（x），满足f(
1
2
)=1，并且?x，y∈（-1，1）都有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)成立，对于数列{xn}，有x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
．
（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数；
（Ⅱ）求数列{f（xn）}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{f（xn）}，证明：
n
2
-
5
6
＜
f(x1)-1
f(x2)-1
+
f(x2)-1
f(x3)-1
+…+
f(xn)-1
f(xn+1)-1
＜
n
2
（n∈N*）．
已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=
1
a
-
1
x-1
（a＞0）
（Ⅰ）若f（2t-3）＞f（4-t），求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．
已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x），在定义域上为减函数，且f（1-a）+f（1-2a）＞0，则实数a的取值范围是
（
2
3
，1）
（
2
3
，1）
．
已知定义在（-1，1）上的偶函数f（x）在（0，1）上单调递增，则满足f（2x-1）＜f（x）的x的取值范围是
（
1
3
，1）
（
1
3
，1）
．
已知定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=
ax+b
x2+1
是增函数，且f(
1
2
)=
2
5
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．

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