Question

已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x），在定义域上为减函数，且f（1-a）+f（1-2a）＞0，则实数a的取值范围是

（

2

3

，1）

．

Answer 1

分析：由奇函数的性质可把f（1-a）+f（1-2a）＞0化为f（1-a）＞f（2a-1），由单调递减可得1-a＜2a-1，再考虑到函数定义域，即可得到a的取值范围．

解答：解：由f（1-a）+f（1-2a）＞0，得f（1-a）＞-f（1-2a），
又∵f（x）在（-1，1）上为奇函数，
∴f（1-2a）=-f（2a-1），
∴f（1-a）＞f（2a-1），
又∵f（x）是定义在（-1，1）上的减函数，
∴1-a＜2a-1，
即

-1＜1-a＜1 -1＜2a-1＜1 1-a＜2a-1

，解得

0＜a＜2 0＜a＜1 a＞ 2 3

，即

2

3

＜a＜1，
所以实数a的取值范围为（

2

3

，1）．
故答案为：（

2

3

，1）．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，解决本题的关键是利用函数的性质将不等式进行转化．