Question

A组：直角坐标系xoy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l₁，l₂．当直线l₁，l₂都与圆C相切时，求P的坐标．
B组：如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知点（1，e）和都在椭圆上，其中e为椭圆离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P，若，求直线AF₁的斜率．

Answer 1

【答案】分析：A：（1）确定圆心坐标，设出椭圆方程，即可求得结论；
（2）确定l₁，l₂的方程，利用直线与圆相切，可得斜率之间的关系，结合椭圆方程，即可求得P的坐标；
B：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和都在椭圆上列式求解．
（2）设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my，与椭圆方程联立，求出|AF₁|、|BF₂|，根据已知条件，用待定系数法求解．
解答：A组：
解：（1）由x²+y²-4x+2=0，得（x-2）²+y²=2，∴圆C的圆心为点（2，0），
从而可设椭圆E的方程为，其焦距为2c，
由题设知，∴a=2c=4，b²=a²-c²=12．
故椭圆E的方程为：；
（2）设点P的坐标为（x，y），l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．
则l₁，l₂的方程分别为l₁：y-y=k₁（x-x），l₂：y-y=k₂（x-x），且．
由l₁与圆c：（x-2）²+y²=2相切，得，
即．
同理可得．
从而k₁，k₂是方程[（2-x）²-2]k²+2（2-x）yk+y²-2=0的两个实根
所以①，且k₁k₂==
∵，
∴5x²-8x-36=0，
∴x=-2或x=
由x=-2得y=±3；由x=得y=±满足①
故点P的坐标为（-2，3）或（-2，-3），或（，）或（，-）
B组
（1）解：由题设知a²=b²+c²，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c²=a²-1．
由点（e，）在椭圆上，得
∴，∴a²=2
∴椭圆的方程为+y2=1．
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由，可得（m²+2）y₁²-2my₁-1=0．
∴y₁=，
∴|AF₁|=①
同理|BF₂|=②
由①②得|AF₁|-|BF₂|=，∴=，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=．
∴直线AF₁的斜率为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．