题目内容
（2009•上海）如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn（n=1，2，…），其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）．设{an}是首项为a，公差为d（d＞0）的等差数列，点B1的坐标为（d，0）．（1）当a=8，d=4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点An均落在抛物线y2=2x上；
（3）为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，求a与d之间所应满足的关系式．
分析：（1）求出A1A2、A1A3的斜率，利用斜率不相等，即可得到结论；
（2）确定顶点An的横坐标、纵坐标，即可证得结论；
（3）顶点An的横、纵坐标，消去n-1，利用所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式．
（2）确定顶点An的横坐标、纵坐标，即可证得结论；
（3）顶点An的横、纵坐标，消去n-1，利用所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式．
解答：（1）证明：由题意可知，A1（8，4），A2（18，6），A3（32，8），
∴kA1A2=
=
，kA1A3=
=
．
∵kA1A2≠kA1A3，
∴顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标xn=d+a1+a2+…+an-1+
an=2（n+1）2，
顶点An的纵坐标yn=
an=2(n+1)．
∵对任意正整数n，点An（xn，yn）的坐标满足方程y2=2x，
∴所有顶点An均落在抛物线y2=2x上．
（3）解：由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是xn=d+
a+
(n-1)2d，yn=
[a+(n-1)d]
消去n-1，可得xn=
yn2+d+
为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则有
解之，得d=4p，a=8p．
∴a，d所应满足的关系式是：a=2d．
∴kA1A2=
| 6-4 |
| 18-8 |
| 1 |
| 5 |
| 8-6 |
| 32-18 |
| 1 |
| 7 |
∵kA1A2≠kA1A3，
∴顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标xn=d+a1+a2+…+an-1+
| 1 |
| 2 |
顶点An的纵坐标yn=
| 1 |
| 2 |
∵对任意正整数n，点An（xn，yn）的坐标满足方程y2=2x，
∴所有顶点An均落在抛物线y2=2x上．
（3）解：由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是xn=d+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
消去n-1，可得xn=
| 2 |
| d |
| a(d-a) |
| 2d |
为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则有
|
解之，得d=4p，a=8p．
∴a，d所应满足的关系式是：a=2d．
点评：本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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