题目内容

已知 $数学公式$ =（sinθ，-2）与 $数学公式$ =（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0， $数学公式$ ）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-j）= $数学公式$ ，0＜j＜ $数学公式$ ，求j的值．

解：（1）因为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直，
所以 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0．
所以sinθ-2cosθ=0，即sinθ=2cosθ．
因为sin²θ+cos²θ=1，
所以（2cosθ）²+cos²θ=1．
解得cos²θ= $\text{[math]}$ ．则sin²θ= $\text{[math]}$ ．
因为θ∈（0， $\text{[math]}$ ），
所以sinθ＞0，cosθ＞0，
所以sinθ= $\text{[math]}$ ，cosθ= $\text{[math]}$ ．
（2）因为0＜j＜ $\text{[math]}$ ，0＜θ＜ $\text{[math]}$ ，所以- $\text{[math]}$ ＜θ-j＜ $\text{[math]}$ ，
所以cos（θ-j）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以cosj=cos[θ-（θ-j）]=cosθcos（θ-j）+sinθsin（θ-j）= $\text{[math]}$ ．所以j= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先根据 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直得到 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，然后将 $\text{[math]}$ =（sinθ，-2）与 $\text{[math]}$ =（1，cosθ）代入可得到sinθ=2cosθ，再由同角三角函数的基本关系和θ的取值范围可求得sinθ和cosθ的值．
（2）先根据j与θ的范围确定θ-j的范围，进而根据同角三角函数的基本关系可求得cos（θ-j）的值，再由cosj=cos[θ-（θ-j）]和两角和与差的余弦公式可求得最后答案．
点评：本题主要考查向量垂直与数量积的关系、同角三角函数的基本关系和两角和与差的公式．考查基础知识的综合应用，三角函数与向量的综合题是高考的热点问题，每年必考，一定要加强练习．