Question

已知函数y=sin(

1

2

x-

π

6

)
（1）求该函数的周期、对称轴及对称中心；
（2）求该函数的单调减区间；
（3）求该函数的最值及取最值时x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函数的性质可求y=sin（

1

2

x-

π

6

）的周期、对称轴及对称中心；
（2）由2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）即可求得求该函数的单调减区间；
（3）利用正弦函数的性质可求y=sin（

1

2

x-

π

6

）的值及取最值时x的集合．

解答：解：（1）∵y=sin（

1

2

x-

π

6

），
∴其周期T=

2π

1 2

=4π；
由

1

2

x-

π

6

=kπ+

π

2

得：对称轴方程为：x=2kπ+

4π

3

（k∈Z）；
由

1

2

x-

π

6

=kπ得x=2kπ+

π

3

（k∈Z），
∴其对称中心为（2kπ+

π

3

，0）；
（2）由2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：
4kπ+

4π

3

≤x≤4kπ+

10π

3

（k∈Z）；
（3）当

1

2

x-

π

6

=2kπ+

π

2

得：x=4kπ+

4π

3

（k∈Z），此时y=sin（

1

2

x-

π

6

）取得最大值1；
当

1

2

x-

π

6

=2kπ-

π

2

得：x=4kπ-

2π

3

（k∈Z），此时y=sin（

1

2

x-

π

6

）取得最小值-1；
∴y=sin（

1

2

x-

π

6

）取最大值1时x的集合为{x|x=4kπ+

4π

3

}（k∈Z），
取得最小值-1时x的集合为{x|x=4kπ-

2π

3

}（k∈Z）．

点评：本题考查正弦函数的单调性．周期性、对称性及最值，掌握正弦函数的性质是解决问题的关键，属于中档题．