Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2-bx（a，b∈R）
（1）若y=f（x）图象上的点(1，-

11

3

)处的切线斜率为-4，求y=f（x）的极大值；
（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，以及切点在图象上建立方程组，解之即可求出a和b求出解析式，先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值即可；
（2）将条件“若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数”转化成f'（x）=x²+2ax-b≤0在区间[-1，2]上恒成立，根据二次函数图象建立约束条件，利用线性规划的方法求出a+b的最小值即可．

解答：解：（1）∵f'（x）=x²+2ax-b，
∴由题意可知：f'（1）=-4且f(1)=-

11

3

，

1+2a-b=-4 1 3 +a-b=- 11 3

解得

a=-1 b=3

（3分）
∴f(x)=

1

3

x3-x2-3x
f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=3
由此可知：

∴当x=-1时，f（x）取极大值

5

3

．（6分）
（2）∵y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，
∴f'（x）=x²+2ax-b≤0在区间[-1，2]上恒成立．
根据二次函数图象可知f'（-1）≤0且f'（2）≤0，

即：

1-2a-b≤0 4+4a-b≤0

也即

2a+b-1≤0 4a-b+4≤0

（9分）
作出不等式组表示的平面区域如图：

当直线z=a+b经过交点P(-

1

2

，2)时，z=a+b取得最小值z=-

1

2

+2=

3

2

，
∴z=a+b取得最小值为

3

2

（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性和线性规划的应用，属于基础题．