Question

【题目】四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面.

（1）若为线段的中点，求证：平面；

（2）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（见解析；（2）见解析．

【解析】分析：（1）取的中点，利用等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，进而利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）先利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到面面垂直，再利用面面垂直的性质得到线线垂直，利用平行四边形确定点的位置．

详解：（1）如图，取中点，连接，，，

∵ 为等边三角形，∴ ，

在中，，，

∴ 为等边三角形，∴ ，

∴ 平面.

（2）连接与相交于点，

在中，作，交于点，

∵ 平面平面，∴ 平面，

∴ 平面，

∴ 平面平面，

易知四边形为平行四边形，

∴ 是的中点，∴ 是的中点，

∴ 在上存在一点，即为的中点，使得平面平面.