Question

6．已知直线y=x+1与函数f（x）=ae^x+b的图象相切，且f′（1）=e．
（I）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，$\frac{3}{2}$），使得2mf（x-1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，求$\frac{n}{m}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出函数f（x）的导数，设出切点，求得切线的斜率，由条件可得b=1，解方程可得a=1；
（Ⅱ）由于f（x）=e^x，由题意可得$\frac{2}{e}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{x}{{e}^{x}}$在x∈（0，$\frac{3}{2}$）有解，构造g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，求得导数，求出单调区间和极值、最值，可得g（x）的范围，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（I）函数f（x）=ae^x+b的导数为f′（x）=ae^x，
由且f′（1）=e，可得ae=e，即a=1；
设切点为（m，m+1），可得切线的斜率为ae^m=1，即m=0
又m+1=ae^m+b，解得b=0，
综上可得，a=1，b=0；
（Ⅱ）由于f（x）=e^x，
存在x∈（0，$\frac{3}{2}$），使得2mf（x-1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，
即为$\frac{2}{e}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{x}{{e}^{x}}$在x∈（0，$\frac{3}{2}$）有解，
由g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$的导数为$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
可得0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
1＜x＜$\frac{3}{2}$时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$，
由g（0）=0，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$${e}^{-\frac{3}{2}}$，
即有g（x）的范围是（0，$\frac{1}{e}$]，
则0＜$\frac{2}{e}$+$\frac{n}{m}$≤$\frac{1}{e}$，解得-$\frac{2}{e}$＜$\frac{n}{m}$≤-$\frac{1}{e}$．
故$\frac{n}{m}$的取值范围为（-$\frac{2}{e}$，-$\frac{1}{e}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及构造法，求出函数的最值和范围，考查运算求解能力，属于中档题．