Question

11．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{4}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n}$=a_n-2（n≥2），且a₁=2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{（3{a}_{n}-5）（3{a}_{n+1}-5）}$，求数列{b_n}的前n项和B_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与“累乘求积”方法即可得出；
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{4}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n}$=a_n-2（n≥2），
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{4}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n}$+$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=a_n+1-2，
∴$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=a_n+1-a_n，
化为$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{2}}$•a₁
=$\frac{n+1}{n}•\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{3}{2}$•2
=n+1，
∴a_n=n+1．
（2）b_n=$\frac{1}{（3{a}_{n}-5）（3{a}_{n+1}-5）}$=$\frac{1}{（3n+3-5）（3n+6-5）}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和B_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$
=$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查了递推关系与“累乘求积”方法、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．