题目内容

椭圆 $数学公式$ 的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，则∠F₁PF₂的大小为，△F₁PF₂的面积为．

$\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$
分析：根据椭圆的方程，可得a=3，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．由椭圆的定义，得|PF₂|=2a-|PF₁|=2，在△PF₁F₂中利用余弦定理，可算出∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，最后由正弦定理的面积公式，可得△F₁PF₂的面积．
解答：∵椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，
∴a²=9，b²=2，可得a=3，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵|PF₁|=4，|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-|PF₁|=2
△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c=2 $\text{[math]}$ ，
∴cos∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∵∠F₁PF₂∈（0，π），∴∠F₁PF₂= $\text{[math]}$
由正弦定理的面积公式，得△F₁PF₂的面积为S= $\text{[math]}$ |PF₁|•|PF₂|sin $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$
点评：本题给出椭圆的焦点三角形△PF₁F₂，求∠F₁PF₂的大小并求面积，着重考查了椭圆的简单几何性质、利用正余弦定理解三角形等知识点，属于基础题．

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图20