题目内容
（2012•甘肃一模）设椭圆M：
+
=1(a＞
)的右焦点为F1，直线l：x=
与x轴交于点A，若
+2
=0（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求
•
的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 2 |
| 2 |
| a2 | ||
|
| OF1 |
| AF1 |
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求
| PE |
| PF |
分析：（1）先求出点A，F1的坐标，利用
+2
=0，即可求得椭圆的方程；
（2）方法1：设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，则
•
=(
-
)•(
-
)=(-
-
)•(
-
)=
2-
2=
2-1，从而求
•
的最大值转化为求
2的最大值；
方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0），根据E，F的中点坐标为（0，2），可得
所以
•
=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=
+
-4y0-(
+
-4y1)．根据点E在圆N上，点P在椭圆M上，可得
•
=-2
-4y0+9=-2(y0+1)2+11，利用y0∈[-
，
]，可求
•
的最大值；
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，由
，解得x=±
，再分别求得
、
，利用y0∈[-
，
]，可求
•
的最大值；②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，同理可求
•
的最大值．
| OF1 |
| AF1 |
（2）方法1：设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，则
| PE |
| PF |
| NE |
| NP |
| NF |
| NP |
| NF |
| NP |
| NF |
| NP |
| NP |
| NF |
| NP |
| PE |
| PF |
| NP |
方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0），根据E，F的中点坐标为（0，2），可得
|
所以
| PE |
| PF |
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
| x | 2 1 |
| y | 2 1 |
| PE |
| PF |
| y | 2 0 |
| 2 |
| 2 |
| PE |
| PF |
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，由
|
| 1 | ||
|
| PE |
| PF |
| 2 |
| 2 |
| PE |
| PF |
| PE |
| PF |
解答：解：（1）由题设知，A(
，0)，F1(
，0)，…（1分）
由
+2
=0，得
=2(
-
)．…（3分）
解得a2=6．
所以椭圆M的方程为M：
+
=1．…（4分）
（2）方法1：设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，
则
•
=(
-
)•(
-
) …（6分）
=(-
-
)•(
-
)…（7分）
=
2-
2=
2-1．…（8分）
从而求
•
的最大值转化为求
2的最大值．…（9分）
因为P是椭圆M上的任意一点，设P（x0，y0），…（10分）
所以
+
=1，即x02=6-3y02．…（11分）
因为点N（0，2），所以
2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12．…（12分）
因为y0∈[-
，
]，所以当y0=-1时，
2取得最大值12，…（13分）
所以
•
的最大值为11，…（14分）
方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0），
因为E，F的中点坐标为（0，2），所以
…（6分）
所以
•
=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)…（7分）=（x1-x0）（-x1-x0）+（y1-y0）（4-y1-y0）=
-
+
-
+4y1-4y0=
+
-4y0-(
+
-4y1)．…（9分）
因为点E在圆N上，所以
+(y1-2)2=1，即
+
-4y1=-3．…（10分）
因为点P在椭圆M上，所以
+
=1，即
=6-3
．…（11分）
所以
•
=-2
-4y0+9=-2(y0+1)2+11．…（12分）
因为y0∈[-
，
]，所以当y0=-1时，(
•
)max=11．…（14分）
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，…（6分）
由
，解得x=±
．…（7分）
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x0，y0），
所以
+
=1，即x02=6-3y02．…（8分）
所以
=(
-x0，
| a2 | ||
|
| a2-2 |
由
| OF1 |
| AF1 |
| a2-2 |
| a2 | ||
|
| a2-2 |
解得a2=6．
所以椭圆M的方程为M：
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 2 |
（2）方法1：设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，
则
| PE |
| PF |
| NE |
| NP |
| NF |
| NP |
=(-
| NF |
| NP |
| NF |
| NP |
=
| NP |
| NF |
| NP |
从而求
| PE |
| PF |
| NP |
因为P是椭圆M上的任意一点，设P（x0，y0），…（10分）
所以
| x02 |
| 6 |
| y02 |
| 2 |
因为点N（0，2），所以
| NP |
因为y0∈[-
| 2 |
| 2 |
| NP |
所以
| PE |
| PF |
方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0），
因为E，F的中点坐标为（0，2），所以
|
所以
| PE |
| PF |
| x | 2 0 |
| x | 2 1 |
| y | 2 0 |
| y | 2 1 |
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
| x | 2 1 |
| y | 2 1 |
因为点E在圆N上，所以
| x | 2 1 |
| x | 2 1 |
| y | 2 1 |
因为点P在椭圆M上，所以
| ||
| 6 |
| ||
| 2 |
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
所以
| PE |
| PF |
| y | 2 0 |
因为y0∈[-
| 2 |
| 2 |
| PE |
| PF |
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，…（6分）
由
|
| 1 | ||
|
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x0，y0），
所以
| x02 |
| 6 |
| y02 |
| 2 |
所以
| PE |
| 1 | ||
|
| k | |
|
