Question

如图,已知椭圆的焦点为F₁、F₂,A、B为顶点,离心率e=.

(1)求证:A、F₁、B、F₂四点共圆;

(2)以BF₁为直径,作半圆O₁,AF切半圆于E,交F₁B延长线于F,求cosF的值.

图20

Answer 1

解析:(1)∵=,∴a²=2c².

又a²=b²+c²,∴b²+c²=2c².

∴b=c,即OA=OF₁=OB=OF₂.

∴四边形AF₁BF₂是正方形.∴A、F₁、B、F₂四点共圆.

(2)连结O₁E.∵AF切⊙O₁于E,∴O₁E⊥AF.

∴△O₁EF∽△AF₁F.∴.

∴F₁F=2EF.又由切线长定理得EF²=FB·FF₁,

∴BF=EF.∴O₁B=EF,BO₁=O₁B+BF=EF.∴cosF=.