Question

若0＜a、b、c＜2,则a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1.

Answer 1

证明：假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都大于1.

∵0＜a、b、c＜2,

∴2-b＞0,2-c＞0,2-a＞0.

∵a(2-b)＞1,b(2-c)＞1,c(2-a)＞1,

三式相乘，得a(2-b)·b(2-c)·c(2-a)＞1.          ①

另一方面，

0＜a(2-a)≤()²=1,

0＜b(2-b)≤()²=1,

0＜c(2-c)≤()²=1.

∴a(2-a)·b(2-b)·c(2-c)≤1.                   ②

显然①②两式矛盾.

∴命题获证.