Question

【题目】已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）存在； 。

【解析】试题（1）数列是等差数列， 用公差表示出来后，由已知求得，可得通项公式，数列是已知和与项的关系，可由求得，再写出当时，两式相减后可得的递推式，从而知是等比数列，由此可得通项公式；（2）数列是由等差数列与等比数列相乘所得，其前项和用错位相减法求得，由（2）得出，作差 ，会发现当时都有 ，因此结论是肯定的．

试题解析：（1）设数列的公差为，依条件有，即，

解得（舍）或， ，由得，

当时， ，解得，当时， ，

， 数列是首项为，公比为的等比数列，故；

（2）由（1）知： ， ①，

②，

① —②得

又， ，当时， ，

当时， ， ，故所求的正整数存在，其最小值为2．